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담장밖의 수학, Jangheung (2026)

03/02/2026

소수 개수 근사하는 법

소수 개수 찾는 법에 관해 약간의 정리와 소개가 필요하다고 생각되어, 컴에 앉아 자판을 두들깁니다.
거두절미 하고
소수을 근사하는 법은 에라토스 테네스 체가 가장 정확지만 우리는 거대한 수에서 사용할 수 없기때문에 규칙적인 근사법을 연구해 왔습니다.

오늘날 그 규칙적인 근사법이 많이 나와 있지만 단계별로 정리가 않되고, 하나의 방법으로 전체을 다 근사하는 법만 생각하지 안았는가? 하는 생각 이들어 제가 단계 별, 구간 별로 정리하는 법을 생각했습니다.

먼저 구간 10^2~~10^7사이릐 소수를 근사 하고자 할 때는 다음 근사법 이 요긴 합니다. 김선생님(홍녕)님께서 알려주신법 (n/2)*(1-√1-4/ln(n) 이 근사에 제가 항를 하나 더 추가 하여, -√√n을 추가 하여 근사하면 참 값과 거의 동일하게 근사할수있다는 것을 알았습니다.

10^7부터 는 리만함수 R(n) 을 사용 합니다 10^7부터~~~10^13까지는 리만의 알 함수가 정확 합니다. 리만의 진동항이 았는 알함수 입니다.13승 이후부터는 리만 의 알 함수가 흔들리기 때문에 그대로 사용 하면 오차의 비율이 커지므로 백형오 알 함수보정을 사용 합니다. 여기기반 알 함수는 리만의 진동항이 없는 알 함수입니다.

R(10^13)+(10/9)*R(10^(13/e)*2 이런 식의 백형오 알보정 이 들어가서 오차의 비율을 낮추어서 사용 합니다. 알함수 보정을 무한대에 다가 갈수록 계속 생성해지는 기반입니다. 여기기반 알 함수는 비진동 알 함수입니다.

비진 동 알 함수의 보정의 연구는 계속 되어질것으로 생각되어 집니다.
작성자 백형오

31/01/2026

ㅁ, ㅁ 8 ㅁ
× 2 ㅁ 7
___________
1 9 0 2 9 9

31/01/2026

from mpmath import mp, riemannr, exp

# 1. 정밀도 설정 (소수점 50자리까지 정밀 계산)
mp.dps = 50

# 2. 숫자 정의
x = mp.mpf('10')**28 # 10^28
e = exp(1) # 자연상수 e

# 3. 수식 계산
# R(10^28) + (10/9) * (R(10^28/e) + R(10^28/e^2) + (2/13) * R(10^28/e^3))
r_x = riemannr(x)
r_e1 = riemannr(x/e)
r_e2 = riemannr(x/e**2)
r_e3 = riemannr(x/e**3)

# 최종 결과 도출
result = r_x + (mp.mpf(10)/9) * (r_e1 + r_e2 + (mp.mpf(2)/13) * r_e3)

# 4. 출력
print(f"--- 계산 결과 ---")
print(result)

31/01/2026

리만의 오차항의 상수는 10/9 보다 커서는 않된다. 항상 성립하기 때문이다. 항상 성립해서, 무의미 해지기 때문이다.
10/9 이하애서는 지수가 1/2 가 아니다.
(10/9)* ( n^1/2.,,, )ln(n) 라만 가설 오차항을 대신 활수 있어 ,n =>10^13

31/01/2026

담장밖의 수학을 서울대 수학과 입학 시켜주시고 지원해 주세요!
빌의 추측과 골드바흐의 추측을 결정론적으로, 무한대에서 닫히게, 증명 할수있고 논문을 제출 할 있어요

05/01/2026

📌 Baek-style 알엔(R) 소수근사 보정 — 13승 단위 원리

소수근사에서 알엔 R(x) 의 잔차 보정은
연속적으로 일어나지 않고 10¹³ 단위 블록으로 작동한다는 경험적 결론에 도달했다.

핵심은 다음과 같다.

① 진동은 가정하지 않는다
잔차의 진동은 1차 구조가 틀어졌다는 의미이므로 배제한다.
구조는 맞고, 보정 강도만 단계적으로 변한다.

② 13의 배수에서 보정이 정렬된다
지수가
13
𝑚
13m 일 때 보정 구조가 가장 단순해진다.

𝜋
(
10
13
𝑚
)

≈

𝑅
(
10
13
𝑚
)

+

10
9
(
𝑅
(
10
13
𝑚
/
𝑒
)
+
𝑅
(
10
13
𝑚
/
𝑒
2
)
+
⋯
+
𝑅
(
10
13
𝑚
/
𝑒
𝑚
)
)
π(10
13m
)≈R(10
13m
)+
9
10

(R(10
13m/e
)+R(10
13m/e
2
)+⋯+R(10
13m/e
m
))

모든 보정항에 같은 계수
10
/
9
10/9 를 곱한다

차수에 따라 계수를 바꾸지 않는다

보정은 “묶음(gain)”으로 작동한다

③ 13의 배수가 아닐 때
(예: 10²⁰)에는 구조는 유지하고
보정 강도만 단조적으로 감쇠시켜 연결한다.
진동이나 부호 전환은 없다.

④ 요약

알엔 보정은 13승 블록에서 정렬되고
그 사이는 같은 구조를 감쇠로 이어 붙인다.
계수는 항상 10/9, 진동은 없다.

—
Baek Hyung-Oh
Soli Deo Gloria

03/01/2026

📘 백형오의 고차방정식 해법 제안

– 근의 공식 없이, 계수 비교로 차수를 내리는 방법 –
(Baek Hyung-Oh | Soli Deo Gloria)

고차 방정식(3차 이상)은 전통적으로

3·4차: 복잡한 근의 공식

5차 이상: “일반해 불가능”
이라는 틀 안에서 다뤄져 왔습니다.

저는 다른 관점에서 접근해 보고자 합니다.

🔹 핵심 아이디어

근을 직접 구하지 않는다.
대신,

다항식이 **인수분해 가능하다고 ‘가정’**하고

(
1
차
×
(
𝑛
−
1
)
차
)
(1차×(n−1)차),
(
2
차
×
(
𝑛
−
2
)
차
)
(2차×(n−2)차) 같은 제한된 구조를 세운 뒤

전개된 계수를 원래 다항식의 계수와 비교하여

인수의 계수를 결정하고

결과적으로 방정식을 2차/1차로 낮춰 해를 얻는 방식입니다.

즉,

**“근의 공식 → 해 계산”**이 아니라
“구조 가정 → 계수 비교 → 차수 하강 → 검산”
이라는 흐름입니다.

🔹 예시 구조

3차:
(
𝑥
−
𝑎
)
(
𝑥
2
+
𝑝
𝑥
+
𝑞
)
(x−a)(x
2
+px+q)

4차:
(
𝑥
2
+
𝑝
𝑥
+
𝑞
)
(
𝑥
2
+
𝑟
𝑥
+
𝑠
)
(x
2
+px+q)(x
2
+rx+s)

5차 이상:
먼저 1~4차 유리수 계수 인수가 존재하는지만 판정
(실패 시에만 수치적/복소 격자 탐색)

이 과정에서 계수 비교식은 단순한 계산이 아니라
👉 해의 존재 조건 자체를 드러내는 역할을 합니다.

🔹 이 접근의 의미

고차 방정식을 “풀 수 있느냐/없느냐”의 문제가 아니라
**“어떤 구조로 분해 가능한가”**의 문제로 바꿉니다.

근의 공식에 의존하지 않으므로
교육적·알고리즘적 단순성이 있습니다.

실제 계산은 연립 계수식 + 검산으로 끝납니다.

🔹 함께 하고 싶은 것

이 글은 완결된 주장이 아니라
👉 공동 탐구 제안입니다.

어떤 고차식에서 이 방법이 항상 성공하는지

실패 조건은 무엇인지

기존 인수정리·대수적 방법과의 관계

자동화(Python 등) 가능성

에 대해
연구자·교육자·수학 애호가 분들과 함께 토론하고 확장하고 싶습니다.

📩 관심 있으신 분들은

반례 제시

개선 아이디어

유사 접근 소개
모두 환영합니다.

Baek Hyung-Oh
Soli Deo Gloria

04/06/2025

전남 장흥

21/02/2025

◆ n차 방정식의 해법 (n>=5)
백 형오
x^n+ax^n-1+bx^n-2....+cx+d=0
이 n차 방정식이 인수분해가 된다면 다음과 같은 두 꼴로 인수분해가 될 것입니다.
(x^n-1+Ax^n-2....+Bx+À)(x+ß)=0
한 유리근(정수근)이 존재하면서 위와 같은식이 될 것입니다.
그러면 한 유리근, 정수근이 존재할 때 두 수식으로 인수분해 하는 방법을 알아보자!
x^n+ax^n-1+bx^n-2....+cx+d=0
(x^n-1+Ax^nb-2....+Bx+À)(x+ß)=0 ..., ⓵
⓵식을 곱셈꼴로 연산하여 원식 n차 방정식으로 만들어 줍니다.

1 A B .... À
1 ß
ß B.ß À.ß ... À.ß
1 A B À
a b c . ... d

À. ß = d
À.ß+ À = c
B.ß+B= b
ß+A=a

각각의 계수 a,b,c,d,에 합당한 A, B와,À ß가 존재합니다.
A,B와,À,ß가 정수나 유리수로 존재하면 이 n차식은 한 근의 정수근 ,유리근을 갖습니다.

⓵에서 합당한 A,B와,À, ß가 정수나 유리수로 존재하지 않으면 n차 방정식은 다음과 같는 꼴로 인수분해가 될것입니다.
이것을 방정식꼴로 고치면 다음과 같습니다.
(x^n-2+Ax^n-3....+À)(x^2+Bx+ß)=0 ..., ⓶
이것을 곱꼴로 고치면,

1 A .... À
1 B ß
ß A.ß ... À.ß
B A.B À.B ...
1 A À
1 a b c d
À.ß = d
A.ß+ A.B + À = c
A+B=a
x^n+ax^n-1+bx^n-2...+cx+d=0
(x^n-3+Ax^n-2+B^x^n-1....+Cx^2+Dx+À)(x^3+Ex^2+x+ß)=0 ..., ⓶
각각의 계수 a,b,c,d,에 합당한 A,B와,À와 ß존재합니다.
A,B와À,ß가 정수나 유리수로 존재하면 이 n차식은 한 근 또는 두근의 실근이나 허근을 갖습니다.이때는 인수분해와 2차식의 근의 공식으로 n차방정식의 근을 찾습니다.

⓶에서 합당한 A,B와 À,ß가 정수나 유리수로 존재하지 않으면 n차 방정식은 다음과 같는 꼴로 인수분해가 될것입니다.
(x^n-3+Ax^n-2+Bx^n-3....+À)(x^3+cx^2+dx+ß)=0 .....⓷
이것을 곱꼴로 고치면,

1 A B....C D À
1 E F ß
ß A.ß B.ß ... ...C.ß D.ß À.ß
1 F A.F B.F ... ... D.F À.F
1 E A.E B.E ... ... À.E
1 A B .., ... D À
1 a b .... .. ... .... c d
À.ß = d
D.ß + À.F = c
1+E+B=d
1+A=a
A,B,C,D,E,F와 À와 ß가 정수나 유리수로 존재하면 이 n차식은
3차방식의 근을 근으로 갖습니다.
그리고 n차방정식의 근은 3차 방정식의 근의공식으로 풀 수 있습니다
⓷에서 합당한 A,B,C,D,E,F와,À,ß가 정수나 유리수로 존재하지 않으면 n차 방정식은 다음과 같는 꼴로 인수분해가 될것입니다.

(x^n-4+Ax^n-3+B^x^n-1....+Cx^2+Dx+À)(x^4+Ex^3+Fx^2+Gx+ß)=0 ...,⓸

1 A B....C D À
1 E F G ß
ß A.ß B.ß ... ...C.ß D.ß À.ß
1 G A.G B.G ... ... D.G À.G
1 F A.F B.F ... ... À.F
1 E A.E ... ... ...À.E
1 A B .., ... D À
1 a b .... ... .... c d

À.ß = d
D.ß + À.G = c
1+E+B=b
1+A=a
A,B,C,D,E,F,G와 À,ß가 정수나 유리수로 존재하면 이 n차식은 이
4차방식의 근을 근으로 갖습니다.
그리고 n차방정식의 근은 4차 방정식의 근의공식으로 풀수 있습니다
⓸에서 합당한 A,B,C,D,E,F,G와 À,ß가 정수나 유리수로 존재하지 않으면 즉 4차식의 곱꼴로 나타내질수 없다면 이 5차이상 방정식에서는 근의 공식이 존재 하지 않고, 수식으로 표현될수 없는 근이 존재 하기 때문에 근의 공식이 존재하는 4차이하 방정식꼴로 나타내어질수 없는 n차 방정식은 수식으로 나타내질 수 있는 근이 존재 하지 않는다고 말할수 있으며 그 근은 2차 3차 4차 방정식의 근의 공식으로 나타낼수 없고, 가까운 근사치를 구해서 근의 값을 구 할 것 입니다.

보기)
x^5+3x^4+7x^3+9x^2+8x+2=0
먼저 이 5차방정식이 한 근의 유리근 정수근을 갖는지 알아보자.
한 근의 정수근 ß을 갖는다면 이 5차 방정식은 다음과 같이 인수분해 될 것이다.
(x^4+ax^3+bx^2+cx+À)(x+ß)=0
이 것을 곱꼴로 고쳐서 각각의 a,b,c,À,ß 가 정수, 유리수을 갖는지 조사해 보자.
그리고 수식으로 나타내어질수 있는근이 존재하는지 판별해보자?

1 a b c À
1 ß
ß a.ß b.ß c.ß À.ß
1 a b c À
1 3 7 9 8 2

c.ß+ À = 8
b.ß + À= 9
a.ß +b = 7
ß+ a= 3
À.ß=2 1*2=2
À=1,2 . ß=2,1
ß+a= 3
ß=3-A
a.ß +b = 7
a.(3-a)+b=7
3a-a^2+b=7
b=a^2-3a+7
b.ß + À= 9
(a^2-3a+7)(3-a)+À=9
3a^2-a^3-9a^2+21-7a+À=9
a^3+6a^2+7a-30+À=0
c.ß+ À = 8
À=8-ca
a^3+6a^2+7a-22-ca=0
4차식과 1차식의 유리수의 곱으로 a, b,c,À.ß가 존재 하지 않음으로 이 5차방정식은 4차식과 1차식의 유리수 들의 곱이 아니라 3차식과 2차식의 유리수들의 곱일 수있습니다.
그러므로 보기의 5차 방정식은
3차식과 2차식의곱꼽로 이루어진 방정식일수 있습니다.
x^5+3x^4+7x^3+9x^2+8x+2=0
⇔
(x^3+ax^2+bx+À)(x^2+cx+ß)=0
이것을 곱꼴로 고쳐 보면

1 a b À
1 c ß
ß a.ß b.ß À.ß
c a.c b.c c.À
1 a b À
1 3 7 9 8 2

b.ß + c.À = 8 .
a.ß+b.c+À= 9
ß+a.c+B = 7
c+a= 3
À.ß=2 1*2=2
À=1,2 . ß=2.1
c+a= 3
c=1,2 a=2,1
ß+a.c+b = 7
a=1 ,c=2 ß=1 , b=?
1+1.2+b=7
b=7-3, b=4
a=2 ,c=1.ß =2 , b=?
2+1.2+b=7
b=7-4, b=3
a.ß +b.c+À= 9
a=2 ,c=1 ß=2 , b=4 À =1
2.2+4.1+1=9 참
a=1 ,c=2 ß=1, b=3 À=2
1.1+3.2+2=9 참
b=3,4
b.ß + c.À = 8
c=1 ß=2 , b=4 À=1
4.2+1.1≠8
c=2 ß=2 , b=4 À=1
4.2+2.1≠8
b≠4
c=1 ß=2 , b=3 À=1
3.2+1.1≠8
c=2 ß=2 , b=3 À=1
3.2 +2.1=8 참
∵ c=2 a=1 ß=2 b=3 À=1
(x^3+ax^2+bx+À)(x^2+cx+ß)=0
(x^3+x^2+3x+1)(x^2+2x+2)=0 ⇔
x^5+3x^4+7x^3+9x^28x+2=0
위의 5차방정식은 다음과 같이 3차식과 2차식의 곱꼴로 인수분해가 되었습니다.
(x^3+x^2+3x+1)=0,일때와 (x^2+2x+2)=0을 풀면된다.
(x^3+x^2+3x+1)=0
3차 방정식의 근의 공식
한 실근과 두 무리근 또는 두 허근
(x^2+2x+2)=0
2차 방정식의 근의 공식
두 허근
5차 방정식이 4차식과 1차식, 3차식과 2차식의 곱꼴로 인수분해가 되지않을때는 수식으로 표현될 수 있는 대수적 근이 존재 하지 않는다고 판단 합니다.

◆ n차 방정식의 해법
n차 방정식은 n차식이 (n-1,2,3,4)차식과 (1,2,3,4)차식의 곱이 정수나 유리수의 꼴로 나타낼수 있다면 이 n차 방정식은 근을 가지고 있습니다.
그러지 않고 n차식이 (n-1,2,3,4)차식과 (1,2,3,4)차식의 곱 꼴로 인수분해가 되지 않는다면, 유리수나 정수의 곱꼴로 나타내어질 수 없는 n차 방정식는 수식으로 표현될 수 있는 대수적 근을 가지고 있지 않습니다.
보기)
x^11+ax^10+bx^9+cx^8+dx^7+....j=0
(x^10+ax^9+bx^8+....À)(x+ß)이렇게 곱꼴로 만든 다음
곱셈을 실행하여 각 계수가 만족하는 정수로 존재 한다면 한 근, x=-ß 가 존재한다.
앞에서 살펴본 곱꼴로 곱셈을 시행 하여 만족하는 계수와 근이 있는지 살펴본다.
(x^9+ax^8+bx^7+....À)(x^2+ex+ß)=0의 꼴로 고친 다음 만족하는 계수가 유리수,또는 정수로 존재한다면, 이차방정식을 풀고 근을 찾는다.
(x^8+ax^7+bx^6+....À)(x^3+fx^2+ex+ß)=0의 꼴로 고친 다음 만족하는 계수가 유리수,정수로 존재한다면. 삼차 방정식을 풀고 근을 찾는다.
(x^7+ax^6+bx^5+....À)(x^4+gx^3+fx^2+ex+ß)=0의 꼴로 고친 다음 만족하는 계수가 유리수,정수로 존재한다면, 사차 방정식을 풀고 근을 찾는다.

그렇다면 대수적 근을 표현할수 없는 n차 방정식의 근을 어떻게 나타낼수 있을까?

뉴턴-렙습법을 사용할것입니다.

준식
x^5-x+1=0의 근을 찾아볼것입니다.
먼저 인수분해가 되는지 않되는지. 살펴봅시다
x^5-x+1=0
1) (x^4+ax^3+bx^2+cx+d)(x+e)로 인수분해가 되는지 계수 비교법으로 판단할것입니다.

x a b c d
* x e
a*e b*e c*e d*e=1
b c d
c*e+d = -1
b*e+c=0
a*e+b=0
d*e= d=1, e=1
d=1/2, e=2
.. ..
d=1/n, e=n

c*e+d=-1 e,d가 부호가 같기 때문에 c는 음수여야한다. d=1/n,e=n 1/n+n*c=-1, (c+(n+c)^2)/n.c=-1
성립하는 c가 존재 하지 않는다.
c가 정수나 유리수로 존재 하지 않음으로 일단 준식이 성립하지않음을 알 수 있다.
(x^3+ax^2+bx+c)(x*2+dx+e)=0으로 인수분해가 되면 근을 쉽게 구할수 있습니다.

x a b c
* x d e
1 a*e b*e c*e=1
1 a*d b*d c*d
b*e+c*d = -1
a*e+b*d=0
1+ a*d= 0
c*e=1, c=1, e=1
c=1/2, e=2
.. ..
1/n, n ...⓵
b*e+c*d = -1 ⓵식의 c와 d을 대입하면
(b+n^2*d)/n=-1
b=-2 , d=1, n=1일 때 즉 c=1,e=1일 때 성립합니다.
a*e+b*d=0 b=-2, e=1 b=1, d=1을 대입하면,
a*1+-2*1=0
a= 2
1+a*d=0에 대입하면,
1+2*1≠0 이어서 본 준식은 어느 꼴로도 인수분해가 되지 않음을 알 수 있습니다.
a, b,c, d,e가 유리수나 정수로 나타낼 수 없어서 본 정식은 인수분해나 근의 공식으로 구할수 없습니다.

x^5-x+1=0 이 방정식은 인수분해가 되지 않습니다.
그래서 인수분해 되는 꼴로 바꾸어 줍니다.

한 근이 정수근이나 유리근이 될 수 있도록 상수항을 조작합니다.

^5-x+1=0 ≡(x^4+ax^3+bx^2+cx+d)(x+e)=0이 되어 근이 나올 수 있도록 식을 조작 합니다.
식1)
1 a b c d
* 1 e
e a*e b*e c*e d*e=( )
1 a b c d
c*e+d=( )
b*e +c=( )
a*e +b=( )
e+a = ( )
각 ( ) 알맞은 d,e에 상수가 나오도록 식 조작을 하여 하나의 5차 방정식을 구하고 한근을 구 합니다.
x^5-x+1=0,에서 x^5-x+m=0 상수항 m이 x^5-x+1=0의 상수항 1의 가장 근접하는 정수나 유리수가 되고 인수분해가 되도록 식 조작 합니다.
(x^4+ax^3+bx^2+cx+d)(x+e)=0 x^5-x+1=0,
d*e=1
c*e+d=-1 ----
b*e +c=0
a*e +b=0
e+a =0,
e=-a, a*-a +b=0, -a^2=-b, a^2=b
b*e +c=0, a^2*-a+c=0, -a^3=-c, a^3=c
a^3*e+d=-1, a^3*-a+d=-1, -a^4=-1-d, a^4=1+d
d=1-a^4, (1-a^4)*e=0,(1-a^4)*-a=0 , -a+a^5=0 , a=-1
a=-1, e=1 , b=1, c=-1,d=1
(x^4-x^3+x^2-x+1)(x+1)(x^5+1)≋x^5-x+1=0, x=-1을 근으로 근사값을 갖는다.
가장근접한 꼴을(x^4-x^3+x^2-x+1)(x+1)= (x^5+1)=0의 근의 두 근 x=-1,의 근을 뉴턴-렙슨법의 초기 x값으로 선정하여 점화식을 실행합니다.
x=-1
=-1
뉴턴-렙습법의 점화식을 가져 옵니다.

= 1.25

=1.178459335

=1.1675602719

=1.1673049071

=-1.1673041558

x≋-1.167304

근사 방정식
(x^4+x^3-x^2-x-1)(x-1)(x^5-2x+1)≋ x^5-x+1=0,

x=1
=1
뉴턴-렙슨법의 점화식을 가져 옵니다.

= -1.25

=1.178459335

=1.1675602719

=1.1673049071

=1.1673041558

x≋-1.167304

x^5-x+1=0 의 근은 x≋-1.167304, x≋ 1.167304의 두 점에서 근접합니다.

담장밖의 수학

03/02/2026

31/01/2026

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